师：上课！
生：老师好！
师：同学们好，请坐。同学们，今天我们要学习什么？
生：丁字板上的多边形。
师：是的，今天就让我们一起开启一段丁字板多边形的探索之旅吧。瞧，这就是钉子板，如果投放到屏幕上就是这样的。屏幕上的小点就相当于钉子板上的钉子。在这样的钉子板上，用橡皮筋就可以围多边形了，你们想不想围一围？
生：想！
师：那就开始吧。
（学生操作完毕）
师：刚刚我们和丁字板来了一次亲密接触，一起来欣赏一下你们的作品。这些图形当中，它们有什么不同？你说。
生：形状不同。
师：请坐。你说。
生：长度和面积也不同。
师：嗯，非常好。你说。
生：大小不同。
师：非常好。那这8幅图里面，哪个又是最小的呢？你说。
生：第一幅图。
师：哦，你认为第一幅图面积最小，为什么？
生：因为它的边长和其他几何图形相比，都比较小。
师：哦，如果我们的钉子，横向和纵向两相邻的钉子的距离是一厘米的话，那这样的一个图形，它的面积最小是多少？
生：一平方厘米。
师：对的，你认为它是最小的，别的同学都赞同吗？请坐。你说。
生：还有一个最小的，是倒数第二个。
师：哦，他认为这个也是最小的，你认为它的面积是多少？
生：我认为它的面积也是一平方厘米。
师：你们同意吗？
生：同意。
师：为什么？
生：因为我们可以切割，把它切割成两个小的三角形，然后再把它拼成一个正方形。
师：哦，也就是说，它也是一平方厘米，对吗？嗯，你是用切割法。还有吗？男孩子你说。
生：我们还可以用平行四边形的面积公式。
师：平行四边形的面积公式是？
生：底乘高。
师：底是一厘米，高也是一厘米，所以它的面积也是一平方厘米。非常棒，看来孩子们都是计算面积的高手呀。那这里面，还有面积为一平方厘米的图形吗？你说。
生：第三个。
师：为什么？
生：三角形面积是底乘高除以2，所以它的面积也是一平方厘米。
师：你们同意吗？
生：同意。
师：非常棒。但是老师这里呀，还有比一平方厘米还要更小的，是多少？
生：0.5平方厘米。
师：那这样的呢？
生：也是0.5平方厘米。
师：这样的呢？
生：还是0.5平方厘米。
师：它们都是0.5平方厘米，为什么？女孩子你说。
生：因为这些三角形都是等底等高。
师：哦，等底等高的三角形，非常棒，请坐。那聊完最小的图形，我们来看看比较复杂的图形，你们知道这样复杂的图形的面积是多少吗？
生：知道。
师：男孩子你说。
生：我们可以把这些图形切割成我们所熟悉的图形。
师：你来试试，哦，你想我帮你好吗？好，这样子是吗？嗯，还有吗？
生：还有它的耳朵这样吗？
师：对，可以吗？可以了吗？
生：不可以。
师：嗯，谢谢你。还有别的不同意见吗？你来。
生：哦，这个地方也要割一割，分一分对吗？
师：嗯，非常好。其实我们遇到这样复杂的图形，可以通过割补的方法把它的面积算出来，是不是也可以数出来？
生：能。
师：我们来看看是不是能数出来，它的面积是多少？
生：十平方厘米。
师：对，看来大家都是面积计算小能手。聊了这么久的钉子板上多边形，你们能提出什么数学问题吗？有疑问吗？你说。
生：这个形状的周长是多少？
师：嗯，非常好。还有吗？男孩子你说。
生：怎样求这个图形的面积？
师：非常棒。还有吗？你说。
生：除了割补法，还有其他更简便的面积公式吗？
师：非常棒，看来孩子们对这一个复杂图形的面积比较感兴趣对吗？
生：对。
师：提出一个问题比解决一个问题更重要，那这样的问题值不值得我们去研究一下？
生：值得。
师：那这样的多边形的面积，你们觉得它跟什么有关呢？你说。
生：和编程有关。
师：嗯，请坐。还有吗？女孩子你说。
生：橡皮筋围在那个钉子上，如果它扩大一点，它的面积就大一点。
师：对吗？嗯，请坐。你说。
生：还有围在它边边上的那个钉子的个数。
师：个数，你们觉得呢？这样的多边形的面积是不是可能跟它围起来的钉子数有关？
生：是的。
师：哦，那到底跟哪些钉子数有关呢？这么多钉子，你说是它周长上的那些钉子，哦，就在它围起来的这些边上的钉子，对吗？嗯，还有吗？女孩子你说。
生：和它图形里面的钉子数。
师：哦，我们发现，可能这一个多边形的面积跟这些围起来的边上的钉子有关，对吧？哦，还有一类就是里面的钉子，被它包裹在里面的钉子。那么我们约定一下，这样的边上的钉子，我们简称为边点数，好吗？
生：好。
师：那么被它包裹在内部的钉子，我们就叫做内点数。今天我们要研究的就是这样的多边形面积。既然猜想这个多边形的面积可能跟内点数有关，也有可能跟边点数有关，你打算怎样研究呢？想一想，你说。
生：数它的钉子数。
师：嗯，很好的方法，数钉子。除了数钉子还要做什么事呢？男孩子你说。
生：研究它的边长，两个钉子之间的长度。
师：两个钉子之间的长度我们已经规定都是一厘米了，你是说哪两个钉子？好，再想一想。你说。
生：我根据刚才那个男孩子说的，应该是不相邻的两个钉子。
师：哦，不相邻，你可能认为像这样两颗之间的距离，对吧？对，请坐。还有吗？你说。
生：比如这个图形的面积。
师：非常好，数一数钉子数，还要去数一数它的面积，或者计算一下它的面积，对吧？但是我们又要研究面积与内点数的关系，又要研究面积与边点数的关系，好像有点复杂，对吧？那怎样让它变得简单一点呢？我要研究它变化使我变化，又要研究它变化又使我变化，怎样使得这个问题简单一点？男孩子你说。
生：只研究其中的一类。
师：这个方法好不好？
生：好。
师：也就是说，我们可以先不管其中一类，对吧？对，好，只研究一种。你们想先研究谁呢？男孩子你说。
生：边点数。
师：为什么？
生：因为边点数好算一点。
师：好算一点，非常好，你比较直白。大家都认同先来研究边点数和面积的关系，对吧？
生：对。
师：那内点数怎么办？
生：不管它，设为0吧。
师：哦，那我们就把内点数先不管它，规定它为0，那就是没有内点喽。那怎样的图形是没有内点的图形呢？你来，试着画一画，展示一个。
（学生展示）
师：这个是不是没有内点？
生：是的。
师：非常棒。那能不能再来一个大一点的？男孩子你来。
（学生展示）
师：是不是没有内点？
生：是。
师：非常好。那么你们知道什么样的图形是没有内点的吗？
生：三角形。
师：只有三角形吗？
生：正方形。
师：来，男孩子你再来围一个。
（学生展示）
师：看这样的图形是不是也没有内点？
生：是的。
师：嗯，非常好，谢谢你。那我们知道了要先研究这样没有内点的多边形，那接下来怎么操作呢？先干嘛？
生：数边点。
师：哦，数边点，先要干嘛？
生：先要围起来。
师：女孩子你说。
生：先要摆出几个没有内点的图形。
师：哦，先围，先用皮筋围几个没有内点的图形，然后呢？
生：然后我们再去计算它的面积。
师：就可以了吗？然后再找出规律，找出什么规律呢？你只计算它的面积，还要干嘛？
生：数它的边点数。
师：哦，非常好。也就是说，我们先围几个这样没有内点的图形，然后数它的边点数，接着计算它的面积。非常好，请坐。咱们就这么干，好吗？