师：好，上课。
生：起立。
师：同学们好。
生：老师好。
师：好，请坐。同学们，课前我们给大家发了一张课前小阅读，大家刚刚应该看过一部分了，内容是关于圆锥曲线和解析几何在数学历史上发生的一些重大事件，大家从中可以了解到，解析几何对圆锥曲线的研究做出了巨大贡献。那今天我们就来研究圆锥曲线。首先大家看老师手里拿的这个圆，我们以前学过，对不对？现在我把这个圆压扁，大家看，压扁之后得到的是什么图形？哦，大家异口同声说是椭圆。那既然你们说它是椭圆，为什么它就是椭圆呢？仅仅是长得像椭圆吗？要判断一个图形是椭圆，总得有理有据才行。
生：它长得很像天体运动的轨迹，还有长轴和半长轴，所以我们觉得它是椭圆。
师：看来大家现在有点说不清楚它为什么是椭圆，要判断一个图形是椭圆，确实得有理有据，怎么才能有理有据呢？
生：给椭圆下一个定义。
师：没错，我们现在就来给椭圆下定义。大家回忆一下之前学过的圆的定义是什么？
生：到一个定点的距离等于定长的点的集合。
师：对，我之前拿绳子拴住定点，笔尖绕着动就能画出圆。现在我做个小实验，把绳子的两端分开，拿一根没有弹性的更长的绳子，请大家仔细观察：我绷紧这根绳子，像画圆一样牵着笔尖绕一圈，大家看我画出了一个图形。现在请大家观察整个实验过程，笔尖移动的过程里，什么东西变了，什么东西没变？
生：笔尖对应的点到两个定点的距离在变，但绳子的总长度没变，两个定点的位置也没变。
师：非常好，我把笔尖记作动点M，两个定点记作F₁、F₂，那MF₁和MF₂的长度是变化的，但MF₁+MF₂的总长度是不变的，我把这个定值设为2a好不好？那大家根据刚才总结的特点，能不能试着给椭圆下一个定义？
生：在平面内，到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。
师：大家用轨迹描述椭圆，很不错。那现在请大家检查一下，这个定义的限制条件够不够？
生：不够！
师：哦？哪里不够？大家看我手里的绳子，要让动点M能自由移动，刚才这个动点、两个定点连起来是不是一个三角形？三角形形成的先决条件是什么？
生：三角形两边之和大于第三边，也就是MF₁+MF₂，也就是绳子的总长度要大于两个定点F₁、F₂之间的距离才行。
师：太对了！所以我们要给刚才的定义补充要求：这个定值必须大于两个定点之间的距离，这样才是完整的椭圆定义。那如果绳子的长度没有大于F₁、F₂之间的距离，会发生什么情况呢？大家看我放的动画：如果绳子长度刚好等于F₁F₂的距离，动点P的轨迹会变成什么？是直线还是线段？
生：线段！点就固定在F₁和F₂中间了。
师：那如果绳子长度比F₁F₂的距离还小呢？
生：根本连不成封闭图形，动点没法同时够到两个端点了。
师：没错，这个情况大家就理解清楚了。我们刚才说的这两个定点F₁、F₂，我们给它起个名字叫焦点，F₁F₂之间的距离叫做焦距，焦距的一半叫做半焦距。那回到我们最开始的问题：把一个圆压扁得到的图形是椭圆，这个问题我们现在解决了吗？
生：没有。
师：为什么还没有？要说明一个图形是椭圆，得怎么做？
生：得用椭圆的定义来证明它，找到对应的两个焦点，还要证明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和都是定值才行。
师：对呀，现在我们还没法完成这个证明，怎么办呢？所以我们要对椭圆做进一步的研究。接下来我们做一个小活动：大家拿出草稿纸，先随便画一个圆。我看到有同学已经画了好几个了，大家画出来的圆都不一样对不对？那现在我们规定单位长度是1厘米，固定坐标系，画方程x²+y²=9对应的圆，大家画出来的图形会不会一样？
生：一样！
师：没错，全班54个同学画出来的都会是一模一样的圆。这说明什么？当标准量确定之后，给了圆的方程，我们就能画出完全一致的圆。之后我们还能在同一个坐标系里画直线，研究什么问题？
生：直线和圆的位置关系、交点坐标、相交形成的弦长。
师：非常好。那按照这个逻辑，我们有了椭圆的定义之后，接下来要研究什么？