师：同学们，上课！
生：立正！
师：同学们好！
生：老师好！
师：请坐。今天，我们一起进入高中物理选择性必修第一册《受迫振动 共振》的学习。在此之前，我们已经学习完简谐运动的相关知识，能够熟练应用简谐运动处理相关问题。课前，我给大家布置了一道预习习题：尝试推导做简谐运动的物体，其加速度a和时间t满足怎样的关系。根据学测网大数据统计，我们班这道题的得分率只有55%，但依然有8位同学做对了。我们来看其中一位同学的解法，这是中原同学的答案。请中原同学分享一下你的思路。
生：首先运用回复力公式F=-kx，然后用牛顿第二定律F=ma，再结合简谐运动的位移公式。
师：很好。他想到了我们已学的回复力公式F=-kx，再结合牛顿第二定律，再代入简谐运动的位移-时间关系式。把这三个式子整合，就可以得到加速度和时间的三角函数表达式。我还发现另一部分同学是这样解的，来自王浩博同学。请王浩博同学分享一下。
生：位移求一次导是速度与时间的关系，再求一次导就是加速度与时间的关系。
师：很好，请坐。这位同学想到了我之前拓展的方法：对位移-时间关系式求一次导，得到速度表达式；再求一次导，就得到加速度表达式。他用数学方法，同样得出了加速度和时间的函数关系。我们仔细观察这两个式子，它们都是三角函数。假如现在有一个加速度传感器，描绘出加速度-时间图像，能不能反映简谐运动的相关特征？能不能反映它的正负？能不能反映它的周期？
生：可以。
师：都是可以的。这两位同学分别用物理方法和数学方法推导出两个表达式，它们应该是等价的，也就是说，两式前面的系数应该相同。我们把系数相等进行整理，会发现周期T=2π√(m/k)。这个式子说明什么？周期T跟什么有关？杨俊杰同学。
生：周期T=2π√(m/k)，跟物体的质量、回复力系数有关。
师：很好。k是回复力系数。那我再问，周期或者频率跟振幅有没有关系？这个式子里有没有出现振幅？
生：没有。
师：那周期、频率跟振幅真的没有关系吗？我们需要通过实验来论证。刚才我说，如果有加速度传感器，画出a-t图像，就能反映简谐运动的特征。正好，我们手机里有一款软件，英文名Phyphox，中文名"手机物理工坊"，里面就有加速度传感器。打开加速度传感器，选择y轴，我把手机挂在弹簧下，模拟一次简谐运动。点击开始，手机就自动描出了简谐运动的图像。好，结束第一次实验。接下来，我们探究频率和振幅的关系。这次我改变振幅，把它拉得更长一些。大家看，这同样是一次简谐运动。如何比较两次实验的周期和频率？我们把图像放大。这位同学离得最近，你到黑板前读一读，简谐运动的周期大约是多少？
生：周期大约是1.2秒。
师：很好。我们一起看，从第一个波峰到第二个波峰，时间大约是1.2秒。这是第一次振动的周期。再看红线，是第二次实验的图像，同样放大。第二次简谐运动的周期大约是多少？
生：也是1.2秒。
师：说明两次的频率有没有发生变化？
生：没有。
师：因此，我们能不能得出结论：频率跟振幅有没有关系？
生：没有关系。
师：这是我课前做的实验。由此我们可以得出结论：课本上也指出，简谐运动的周期和频率，仅由系统自身决定。在物理学中，这种频率叫作固有频率。请大家再次观察这幅图像。除了频率不变，我们看振幅，黑板上的振幅理论上应该越来越怎样？
生：越来越小。
师：为什么？
生：因为实际过程中不可避免存在空气阻力。
师：振幅变小，根据之前的知识，它的能量在不断减小、损耗。那我问大家：现实生活中，真的存在理想的简谐运动吗？
生：不存在。
师：现实中的振动都不是理想的简谐运动，简谐运动是我们抽象出来的什么模型？
生：理想化物理模型。
师：因此，生活中的振动不可避免地受到阻碍作用，我们把这种振动叫作阻尼振动。接下来，我们同样用手机加速度传感器，看看阻尼振动有什么特征。理论上，手机振动最终一定会停下，我课前试过，完全停下大约需要6到8分钟，课堂上很难完成。所以我用一盆水来增大阻力。李泰宇同学，上来配合我一下，把水端好。大家想一想，我让手机振动，水会给系统一个阻力，这就是阻尼振动。我们用加速度图像观察一下。大家看，从20秒开始，手机进入水中，这一段就是阻尼振动。我们把图像放大，振幅是不是在不断减小？
生：是。
师：除了振幅，我们再看频率，放大后频率有没有改变？
生：没有。
师：因此，阻尼振动有什么特征？第一，振幅和能量在减小；第二，频率保持不变。很好，这就是阻尼振动的两个特点。我再提一个问题：生活中的振动最终都会停止，比如荡秋千，最后一定会停下来。如果我想让秋千持续振动，有什么办法？
生：后面有人推。