师：上课,同学们好。
生：老师好。
师：早在2600多年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯创建了毕达哥拉斯学派，并提出“万物皆数”的理论。看着“万物皆数”这四个字，你想到了什么？男生请你。
生：我想到了……
师：谢谢你，请坐。有想法，孩子们。一张桌子可以用数几表示？
生：1。
师：那两支笔呢？
生：2。
师：我们班有几个人？
生：15个人。
师：那就可以用几表示？
生：15。
师：万物都可以用数来表示。接下来请观察下面的图和算式有什么关系，请你们把算式补充完整，有想法的请举手。女生你来。
生：首先我们观察第一幅图，是一个小正方形，也就是用数字1表示，1也就是1的平方，因为1×1 = 1，所以第一幅图我认为填1 = 12。
师：同意吗？接着说。
生：第二幅图1 + 3，也就是我们看绿色的一个小正方形加上蓝色的3个小正方形，一共是4个正方形，4是2的平方，因为2×2 = 4，所以第二幅图填1 + 3 = 22。
师：判断。
生：再来第三幅图，我们看1表示一个绿色小正方形，3表示3个蓝色小正方形，5表示5个紫色小正方形，1个正方形加3个正方形加5个正方形，一共是9个正方形，9是3的平方，因为3×3 = 9，所以我认为最后一幅图1 + 3 + 5 = 32。
师：判断。谢谢你，请坐，表达非常完整。来，孩子们，那么我想问一下，2的平方表示什么？一起告诉我。
生：2个2。
师：颜色记录一下，来，数着一个2，两个2，所以就是两个2。那3的平方呢？
生：3个3。
师：来，用手比着，一个三，两个三，三个三。刚才这两幅图，我们都是横着看的，竖着看行不行？
生：也可以。
师：刚才呢，我们是借助图形来观察，如果我把图形去掉，你们能够将左边的算式变成右边几个几相加的形式吗？比如加工1和3，变成2个2相加，听清楚没有？
生：听清楚了。
师：谁会？请你，男生。
生：1 + 3 = 4，4是2的平方，因此可以是两个2相加，也就是2 + 2。
师：你是先算出得数再来看的，对吧？那你能不能直接加工这两个数，可以怎么加工？
生：我把3拿出一个1给另外一个1，另外一个1变成2，3变成2，就相当于2 + 2，然后等于4，就是把多的移给少的，那就是2的平方。
师：谢谢你，表达清楚，请坐，话筒放在那里，等会递一下。那1 + 3 + 5呢？谁来说？女生请你。
生：1 + 3 + 5 = 32，我们看5，我们用5分一个2给1，就变成了3个3相加，所以1 + 3 + 5 = 32。
师：都是移多补少，是吧？我帮你记录一下。好，孩子们，下面我们把图形请出来，帮我们更直观地理解以多补少。这是1，1 + 3把几移给几？
生：3移1给1。
师：变成两个2。1 + 3 + 5，谁移给谁？
生：把5移2给1，变成3 + 3 + 3，3个3。
师：那现在请你们想一想1 + 3 + 5 + 7对应着怎样一个正方形呢？认真思考，把你的想法在作业单的第一题画一画，开始。画好的同学想一想，可以通过移多补少把它变成几个几相加呢？画图用尺子，好习惯。画好的同学请举手。好了，停，坐正。谁能告诉我，1 + 3 + 5 + 7可以移多补少成几个几相加？男生请你。
生：我认为1 + 3 + 5 + 7可以移多补少为4个4相加，将7移3给1，就是4，也就变成了4，将5移1给3，也就变成了4，也就是4个4相加，就是42。
师：你们听清了吗？
生：听清了。
师：很完整，掌声送给他。接下来请同学们观察这些算式，像这样从一开始连续几个奇数相加的数列，我们称它为奇数列。1 + 3，2个奇数，22；1 + 3 + 5，3个奇数，32；4个奇数，42。你有什么发现？手举高点我看看。男生。
生：我发现几个连续的奇数相加，它的和就等于奇数个数的平方。
师：好，谢谢你，请坐。我们通过移多补少之后发现，只要数出奇数列的个数，那它的和就是个数的平方。孩子们，那我们快速来计算，1 + 3 + 5一直加到11是几的平方？想一想，快点。
生：62。
师：再来，1 + 3 + 5一直加到19呢？
（有的学生算出来，有的学生较慢）
师：为什么会慢了？你说说。
生：是因为找这个个数是有方法的，我们既然是用移多补少的方法，就用最大的去补最小的那一个数，刚好就能每次都刚好能补完，然后就像最后一个算式一样，1 + 3 + 5一直加到19的时候，我们就用19补1，我们这里就可以用求平均数的方法，用19加上1的和除以2就能算出这里这一串奇数是有几个。
师：哦，我听的意思你没有在数了是吧？为什么不数了？
生：因为我们用以多补少的方法，用最多的补最少的，每一个就刚好能把它补成一个相同的数，所以我们只要求出其中一个，就能知道另外所有的。
师：是因为你发现数的方法没有你刚刚说这种方法快，是不是这个意思？哦，谢谢你，请坐。说明用移多补少之后来数个数的方法适用于比较短的数列，对于比较长的数列，就需要我们用更快的方法，是这个意思吗？那刚才这个小男生说，他说他要用19去加1，是这个意思吗？好，那我们来看，在这个数列中，19是最后一个数，我们给它一个名字，叫做尾数。你呢，是加工了这个尾数，快速地找到奇数列的个数，是这个意思吗？如何加工的？你坐他旁边，你听清了吗？你说说。
生：用尾数加上第一个数1的和，再除以2，就算出了这个奇数的个数。
师：你是用尾数加上第一个数1的和除以2，找到了这个奇数列的个数，是几个，孩子们？
生：10个。
师：那就是102。太厉害了。那我们接着来，1 + 3 + 5一直加到67是几的平方？哦，太厉害了嘛。来讲讲你是怎么想的，你说。
生：我也是用刚刚那位同学的方法，因为它最后一个数是67，67 + 1就是68，除以2就是34，所以它的和就是342。
师：听清没有？谢谢你。好了，孩子们，那还可以怎么理解呢？看着，我们可以借助图形帮助我们理解，大家都玩过魔方吧，像这样，魔方的一个面是这样一个小正方形的，我们称它为一阶魔方，一阶对吧？两行两列，就是二阶，这里呢，是二阶正方形，对吧？三横三列三阶。一阶，12；二阶，22；三阶，32。那我要判断一个正方形是几阶，其实看哪就行了？
生：看它最外围的小正方形个数。
师：也就是看它最外围的小正方形个数，求其实就是奇数列的尾数。反过来说，奇数列的尾数就是这个正方形最外围的这个7字形，看清楚没有？所以我们要判断一个正方形是几阶，还是要从尾数去思考。那我们从简单的入手，如果从一个一阶正方形变成二阶正方形怎么变？拿手比比，给我看看怎么变。
（学生比划）
师：哦，我看有的人在这样比着了，对吧？就是在它的外围加上一个7字型，是几个，加了几个？这是我们看到的，如果我们来摆一摆呢，看好了哦。一阶正方形，我要摆成二阶，竖着摆，几个？
生：3个。
师：横着摆几个？
生：3个。
师：啊，有歧义了，来，我们先摆摆看，横着应该是这个样子啊，对吧？好了，我摆了几个？尾数是几呀？问题出在了哪里？你说。
生：我认为问题出在和第一个一阶小正方形斜面上的那个小正方形那里重合了两个小正方形，所以它就多出来了一个。
师：你们发现了吗？重叠了一个，所以说我们要用尾数3去加1变成4，再把这个4平均分成两份，竖着摆，横着摆，几阶正方形？
生：2阶。
师：几的平方？
生：22。
师：那如果尾数是5呢？来，孩子们，我们一起来，先用5把重叠的那个去掉，去，哎，现在重叠了一个，加1，然后再把它平均分成两个，竖着摆三个，横着摆三个，几阶正方形？