师：好，上课！
生：起立！
师：同学们好！
生：老师您好！
师：好，请坐。最近懒羊羊愈发肥胖，喜羊羊想帮助他减肥，就对他说：“如果你能连续锻炼100天，就奖你一份神秘礼物。”但是懒羊羊只会数手指记时间，我们要怎么帮他记住时间呢？下面我们来看看小七同学的方法。我们可以通过数位桶的方式来帮助懒羊羊记时间。第一天，在1号桶中放一根签子，第二天再放一根，按照这样的方式在1号桶中增加签子。当1号桶中出现和手指数相同数量的签子时，我们就将1号桶中的签子取出，放一根到2号桶中。以此类推，在1号桶、2号桶中增加签子，当2号桶中的签子达到手指数时，我们把2号桶中的签子也取出，放一根到3号桶中。当出现这种情况时，懒羊羊就可以去领取神秘礼物了。
懒羊羊按照小七同学的方法认真锻炼，直到出现图片上这种情况时，他开心地去找喜羊羊兑换礼物。可是喜羊羊并没有把礼物奖给他，而是对他说：“你的时间记错了，今天不是100天。”为什么人类的方法在小羊这里就失效了呢？原因究竟是什么？通过今天这节课的学习，我们一起来帮懒羊羊找到原因。下面进入今天的学习——进位制的认识与探究。
在我国最古老的运算工具中，我们通常使用十进制计数法。除此之外，在计算机中也用到了进位制。那在计算机中用到的是几进制呢？
生：二进制。
师：二进制。同学们请再仔细思考一下，生活中哪些地方还用到了进位制？
生：秒！时间的转化。我们知道1小时等于60分钟，这里用到的是60进制。
师：非常好，请坐。还有吗？
生：1000纳米等于1微米，在单位换算中也用到了。
师：非常好，请坐。进位制在我们生活中有广泛的应用。接下来，我们就一起来研究一下常用的进位制。
首先，老师这里有4个数位桶，分别是个位桶、十位桶、百位桶和千位桶，每个数位桶中都放了一根签子。那每根签子表示的数是多少呢？
生：个位桶的签子表示1，十位桶的签子表示1个十，百位桶的签子表示1个百，千位桶的签子表示1个千。
师：非常好，请坐。那为什么十位桶中一根签子表示1个十呢？
生：当个位桶中签子达到10根，就要往前一位进1，所以十位桶中一根签子表示1个十。
师：请同学们再思考，像这样的进位制，它有怎样的进位规则呢？
生：逢十进一。
师：非常好，像这种逢十进一的进位制，我们称为十进制。那在这些数位桶中，最多能放多少根签子呢？
生：9根。
师：为什么是9根呢？
生：因为逢10进一。
师：所以，我们能用哪些数字来计数呢？
生：0 - 9。
现在，老师在这些数位桶中添加了一些签子，此时千位桶中有三根签子，百位桶中有7根签子，十位桶中有两根签子，个位桶中有一根签子，这时它表示的数是多少呢？
生：3721。
师：那老师还有个问题，为什么千位桶中三根签子表示三千呢？
生：可以从十位桶一根签子表示一个10来推断。当百位桶中有9根签子，再加一根到10根签时，就要往千位桶中放一根签子，也就是说千位桶中一根签子表示10个100，也就是1000，所以三根签子就是3000。
师：非常好，请坐。我们也可以将这个数表示成3个1000、7个100、2个10和1个1组成。为了使结构和形式保持一致，我们可以将1000写成10的三次方，100写成10的二次方，10写成10的一次方，1写成10的0次方。在这里我们规定，当底数a不等于0时，a的0次方都等于1。请同学们再仔细观察这个指数，它跟这些数字所在的位数有怎样的关系呢？小组之间先讨论一下。
好，哪位同学来说一说？
生：指数是位数减1。
师：非常好，请坐。我们看3在第四位，它的指数为3；7在第三位，指数为2。所以指数等于位数减1。
我们研究了十进制，再来看二进制，它有怎样的特征呢？现在我们小组合作，把数位筒看作二进制的数位筒，以小组为单位合作探究，完成以下三个问题：第一，如何用二进制的数位筒表示1 - 10？第二，每个数位筒中一根签子表示的是多少？第三，将表格中二进制这一行内容补充完成。好，现在开始。
（大部分同学得出答案）好，哪位同学上来将数字1 - 10表示出来。